Matrizes e Determinantes
Atualizado em 29-Out-2000.
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(a) |
os quais são designados por elementos da matriz e representados por aij. Os índices i e j indicam, respectivamente, a linha e a coluna em que o elemento aij se encontra na matriz.
Uma matriz com m linhas e n colunas é dita rectangular de ordem (m*n), ao passo que uma matriz na qual m=n é dita quadrada. Uma matriz com uma só coluna é designada por vector coluna
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(b) |
e uma matriz com uma só linha é designada por vector linha
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(c) |
As matrizes cujos elementos verificam a igualdade aij=aji são designadas por simétricas.
As matrizes da mesma ordem podem ser somadas ou subtraídas elemento a elemento
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(d) |
operações que verificam seja a propriedade da comutatividade
| A + B = B + A | (e) |
seja a da associatividade
| (A + B) + C = A + (B + C) | (f) |
O produto de matrizes só é possível nos casos em que estas verificam a relação entre ordens
| C(m*n) = A(m*r) * B(r*n) | (g) |
isto é, a matriz A possui o mesmo número de colunas que o número de linhas da matriz B, tendo a matriz produto, C, um número de linhas e de colunas igual a, respectivamente, o número de linhas da matriz A e o número de colunas da matriz B. O produto de duas matrizes efectua-se de acordo com a seguinte regra:
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(h) |
é equivalente a
| p = a11x + a12y + a13z | (i) |
| q = a21x + a22y + a23z | (j) |
| r = a31x + a32y + a33z | (k) |
Um determinante é um agregado de números, coeficientes ou funções dispostos em linhas e colunas e é utilizado na resolução de sistemas de equações,
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(l) |
Por exemplo, os determinantes das matrizes de ordem (2*2) e (3*3) são dados por
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(m) |
e por
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(n) |
respectivamente. Em geral, a expressão do determinante de uma matriz (n*n) é obtido a partir do cálculo dos cofactores e dos menores. O menor mij é o determinante de uma matriz à qual foram retiradas a linha i e a coluna j. Por exemplo, no caso do determinante de uma matriz (3*3), os menores m11, m12 e m13 são dados por
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(o) |
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(p) |
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(q) |
respectivamente. Por outro lado, os cofactores Cij são dados por
| Cij = (-1)(i+j)mij | (r) |
A regra de cálculo do determinante de uma matriz (n*n) é
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(s) |
em que j é uma qualquer das n colunas da matriz. Por exemplo, no caso de uma matriz (3*3)
| D = a11c11 + a21c21
+ a31c31
= a11 ( a22a33 - a32a23)(-1)2 + a21(a12a33 - a32a13)(-1)3 + a31(a12a23 - a22a13)(-1)4 |
(t) |
Um sistema de n equações a n variáveis
| vs1 = a11i1
+ a12i2 + . . . + a1nin
vs2 = a21i1 + a22i2 + . . . + a2nin ... ... ... ... vsn = an1i1 + an2i2 + . . . + annin |
(u) |
pode ser representado com base numa relação matricial
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(v) |
As expressões das soluções ii do sistema são dadas pela regra de Cramer
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(x) |
em que Di representa o determinante da matriz quando a coluna i é substituída pelo vector coluna [vs]. Por exemplo, considerando o caso particular de um sistema de três equações, as soluções i1, i2 e i3 são dadas por
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(w) |
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(y) |
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(z) |
respectivamente.
